14 Delineamento em Blocos Casualizados





  • O delineamento em blocos ao acaso ou o delineamento em blocos casualizados são aqueles que levam em consideração os 3 princípios básicos da experimentação;
  • O controle local é feito na sua forma mais simples e é chamado de blocos;
  • Sempre que não houver homogeneidade das condições experimentais, deve-se utilizar o princípio do controle local;
  • Estabelece-se, então, sub-ambientes homogêneos (blocos) e instalando, em cada um deles, todos os tratamentos, igualmente repetidos;
  • Nessas condições, o delineamento em blocos casualizados é mais eficiente que o inteiramente ao acaso e, essa eficiência depende da uniformidade das parcelas de cada bloco;
  • Pode-se haver diferenças bem acentuadas de um bloco para outro.
  • O número de blocos e de repetições coincide apenas quando os tratamentos ocorrem uma única vez em cada bloco.



14.1 Vantagens


  • Controla as diferenças que ocorrem nas condições ambientais, de um bloco para outro;
  • Conduz a uma estimativa mais exata para a variância residual, uma vez que a variação ambiental entre blocos é isolada.

14.2 Desvantagens


  • Pela utilização do princípio do controle local, há uma redução no número de graus de liberdade do resíduo;
  • Exigência de homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco limita o número de tratamentos, que não pode ser muito elevado.


14.3 Modelo matemático


\[\begin{eqnarray} y_{ji}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij} \end{eqnarray}\]

\(y_{ji}\): é a observação referente ao tratamento i no bloco j;

\(\mu\): é a média geral (ou constante comum a todas as observações);

\(\tau_i\): é o efeito de tratamento, com \(i = 1, 2, . . . , I\);

\(\beta_j\): é o efeito do bloco;

\(\varepsilon_{ij}\): é o erro experimental, tal que \(\varepsilon_{ij}\)~N(0; \(\sigma^2\)).

14.4 Hipóteses e Modelo

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mu_1 = \mu_2 =\mu_i\\[.2cm] H_1: & \mu_i \neq \mu_i' \qquad i \neq i'. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

CV G.L. S.Q. Q.M. Fcalc Ftab
Tratamentos \(a - 1\) \(SQ_{Trat}\) \(\frac{SQ_{Trat}}{a-1}\) \(\frac{QMTrat}{QMRes}\) \(F(\alpha;GL_{Trat} ;GL_{Res})\)
Blocos \(b-1\) \(Sq_{Blocos}\) \(\frac{SQ_{Blocos}}{b-1}\) \(\frac{QM_{bloco}}{QM_{Res}}\) \(F(\alpha;GL_{bloco} ;GL_{Res})\)
resíduo \((a-1)(b-1)\) \(SQ_{Res}\) \(\frac{SQRes}{(a-1)(b-1)}\) -
Total \(ab-1\) \(SQ_{Total}\) - -


14.5 Croqui


Criando uma função para fazer um croqui (Bloco em coluna)

# Não alterar os comandos da função
library(agricolae)
library(gridExtra)
library(grid)
croqui=function(trat,r){
  sort=design.rcbd(trat,r,serie=0)
  sort$book[,3]=as.factor(matrix(sort$book[,3],r,,T))
  ncol=r
  gs <- lapply(sort$book[,3], function(ii)
    grobTree(rectGrob(gp=gpar(fill=ii, alpha=0.5)),textGrob(ii)))
  grid.arrange(grobs=gs, ncol=ncol)}


Vetor de tratamentos

trat=c("T1","T2","T3","T4")


Usando a função

croqui(trat,r=3)


Criando uma função para fazer um croqui (Bloco em linha)

# Não alterar os comandos da função
library(agricolae)
library(gridExtra)
library(grid)
croqui=function(trat,r){
  sort=design.rcbd(trat,r,serie=0)
  sort$book[,3]=as.factor(t(matrix(sort$book[,3],r,,T)))
  ncol=length(levels(sort$book[,3]))
  gs <- lapply(sort$book[,3], function(ii)
    grobTree(rectGrob(gp=gpar(fill=ii, alpha=0.5)),textGrob(ii)))
  grid.arrange(grobs=gs, ncol=ncol)}


Vetor de tratamentos

trat=c("T1","T2","T3","T4")


Usando a função

croqui(trat,r=3)



14.6 Exemplo 1


Exemplo do Livro Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos (2013) - Décio Barbin - pg. 72

Um experimento foi conduzido com o objetivo de estudar o comportamento de nove porta-enxertos para a laranjeira Valência.

Os porta-enxertos são:

  • T1: Tangerina Sunki
  • T2: Limão rugoso Nacional
  • T3: Limão rugoso da Flórida
  • T4: Tangerina Cleópatra
  • T5: Citranger-troyer
  • T6: Trifoliata
  • T7: Tangerina Cravo
  • T8: Laranja caipira
  • T9: Limão Cravo

Delineamento experimental: Blocos casualizados.

Repetições/Tratamento: 3 repetições


Croqui experimental é apresentado abaixo:

Bloco
B1 T3 T1 T4 T8 T6 T7 T2 T9 T5
B2 T7 T3 T9 T4 T2 T5 T1 T6 T8
B3 T8 T6 T2 T1 T7 T9 T3 T4 T5

Para o ano de 1973 (Plantas com 12 anos de idade), os resultados de produção, em número médio de frutos por planta, foram:

Tratamentos B1 B2 B3 Total
1 145 155 166 466
2 200 190 190 580
3 183 186 208 577
4 190 175 186 551
5 180 160 156 496
6 130 160 130 420
7 206 165 170 541
8 250 271 230 751
9 164 190 193 547
Total 1648 1652 1629 4929


14.6.1 Conjunto de dados

resposta=c(145,155,166,
           200,190,190,
           183,186,208,
           190,175,186,
           180,160,156,
           130,160,130,
           206,165,170,
           250,271,230,
           164,190,193)
cultivar=rep(c(paste("T",1:9)),e=3)
cultivar=as.factor(cultivar)
bloco=as.factor(rep(c(paste("B",1:3)),9))



14.7 Gráficos exploratórios


14.7.1 Gráfico de caixas

car::Boxplot(resposta~cultivar)


14.7.2 Histograma

hist(resposta)


14.8 Análise de variância

modelo=aov(resposta~cultivar+bloco)
anova(modelo) # Conferir GL
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: resposta
##           Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## cultivar   8 22981.3 2872.67 11.4114 2.637e-05 ***
## bloco      2    33.6   16.78  0.0666    0.9358    
## Residuals 16  4027.8  251.74                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1



14.9 Pressuposições


14.9.1 Normalidade dos erros

shapiro.test(modelo$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.94759, p-value = 0.1873

Os erros seguem distribuição normal


14.9.2 Homogeneidade das variâncias

bartlett.test(modelo$residuals~cultivar)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  modelo$residuals by cultivar
## Bartlett's K-squared = 4.0369, df = 8, p-value = 0.8538

As variâncias são homogêneas


14.9.3 Independência dos erros

lmtest::dwtest(modelo)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelo
## DW = 2.3246, p-value = 0.2484
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Os erros são independentes.


14.9.4 Teste de Aditividade de Tukey

library(asbio)
tukey.add.test(resposta,cultivar,bloco)
## 
## Tukey's one df test for additivity 
## F = 0.6866169   Denom df = 15    p-value = 0.4203076


14.9.5 Gráfico de resíduos padronizados

a=anova(modelo)
plot(modelo$residuals/sqrt(a$`Mean Sq`[3]), ylab="Resíduos Padronizados")
abline(h=0)



14.10 Comparação múltipla


14.10.1 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o multcomp)

library(multcomp)
mcomp=glht(modelo, mcp(cultivar="Tukey"))
plot(mcomp)

cld(mcomp)
##  T 1  T 2  T 3  T 4  T 5  T 6  T 7  T 8  T 9 
## "ab"  "b"  "b" "ab" "ab"  "a" "ab"  "c" "ab"


14.10.2 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o TukeyHSD do R)

(tukey=TukeyHSD(modelo))
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = resposta ~ cultivar + bloco)
## 
## $cultivar
##               diff         lwr        upr     p adj
## T 2-T 1  38.000000   -8.085796  84.085796 0.1520249
## T 3-T 1  37.000000   -9.085796  83.085796 0.1728150
## T 4-T 1  28.333333  -17.752463  74.419129 0.4559717
## T 5-T 1  10.000000  -36.085796  56.085796 0.9962223
## T 6-T 1 -15.333333  -61.419129  30.752463 0.9489958
## T 7-T 1  25.000000  -21.085796  71.085796 0.6053536
## T 8-T 1  95.000000   48.914204 141.085796 0.0000460
## T 9-T 1  27.000000  -19.085796  73.085796 0.5143733
## T 3-T 2  -1.000000  -47.085796  45.085796 1.0000000
## T 4-T 2  -9.666667  -55.752463  36.419129 0.9969942
## T 5-T 2 -28.000000  -74.085796  18.085796 0.4703201
## T 6-T 2 -53.333333  -99.419129  -7.247537 0.0172692
## T 7-T 2 -13.000000  -59.085796  33.085796 0.9799785
## T 8-T 2  57.000000   10.914204 103.085796 0.0099947
## T 9-T 2 -11.000000  -57.085796  35.085796 0.9929220
## T 4-T 3  -8.666667  -54.752463  37.419129 0.9985839
## T 5-T 3 -27.000000  -73.085796  19.085796 0.5143733
## T 6-T 3 -52.333333  -98.419129  -6.247537 0.0200347
## T 7-T 3 -12.000000  -58.085796  34.085796 0.9877062
## T 8-T 3  58.000000   11.914204 104.085796 0.0086074
## T 9-T 3 -10.000000  -56.085796  36.085796 0.9962223
## T 5-T 4 -18.333333  -64.419129  27.752463 0.8763516
## T 6-T 4 -43.666667  -89.752463   2.419129 0.0705323
## T 7-T 4  -3.333333  -49.419129  42.752463 0.9999989
## T 8-T 4  66.666667   20.580871 112.752463 0.0023716
## T 9-T 4  -1.333333  -47.419129  44.752463 1.0000000
## T 6-T 5 -25.333333  -71.419129  20.752463 0.5900630
## T 7-T 5  15.000000  -31.085796  61.085796 0.9546944
## T 8-T 5  85.000000   38.914204 131.085796 0.0001740
## T 9-T 5  17.000000  -29.085796  63.085796 0.9134401
## T 7-T 6  40.333333   -5.752463  86.419129 0.1116698
## T 8-T 6 110.333333   64.247537 156.419129 0.0000069
## T 9-T 6  42.333333   -3.752463  88.419129 0.0849582
## T 8-T 7  70.000000   23.914204 116.085796 0.0014541
## T 9-T 7   2.000000  -44.085796  48.085796 1.0000000
## T 9-T 8 -68.000000 -114.085796 -21.914204 0.0019490
## 
## $bloco
##               diff       lwr      upr     p adj
## B 2-B 1  0.4444444 -18.85487 19.74376 0.9980554
## B 3-B 1 -2.1111111 -21.41043 17.18820 0.9571497
## B 3-B 2 -2.5555556 -21.85487 16.74376 0.9379209
plot(tukey)


14.10.3 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o HSD.test do Agricolae)

library(agricolae)
tukey=HSD.test(modelo,"cultivar")
plot(tukey)


14.10.4 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o ea1() do pacote easyanova)

library(easyanova)
tukey=ea1(data.frame(cultivar,bloco,resposta), design = 2)
cbind(tukey$`Adjusted means`[1],tukey$`Adjusted means`[2],tukey$`Adjusted means`[4])
##   treatment adjusted.mean tukey
## 1       T 8      250.3333     a
## 2       T 2      193.3333     b
## 3       T 3      192.3333     b
## 4       T 4      183.6667    bc
## 5       T 9      182.3333    bc
## 6       T 7      180.3333    bc
## 7       T 5      165.3333    bc
## 8       T 1      155.3333    bc
## 9       T 6      140.0000     c


14.10.4.1 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o dbc do pacote ExpDes.pt)

library(ExpDes.pt)
dbc(cultivar,bloco,resposta)
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##            GL      SQ      QM      Fc   Pr>Fc
## Tratamento  8 22981.3 2872.67 11.4114 0.00003
## Bloco       2    33.6   16.78  0.0666 0.93578
## Residuo    16  4027.8  251.74                
## Total      26 27042.7                        
## ------------------------------------------------------------------------
## CV = 8.69 %
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de normalidade dos residuos 
## valor-p:  0.187264 
## De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de homogeneidade de variancia 
## valor-p:  0.7817409 
## De acordo com o teste de oneillmathews a 5% de significancia, as variancias podem ser consideradas homogeneas.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     T 8     250.3333 
##  b    T 2     193.3333 
##  b    T 3     192.3333 
##  bc   T 4     183.6667 
##  bc   T 9     182.3333 
##  bc   T 7     180.3333 
##  bc   T 5     165.3333 
##  bc   T 1     155.3333 
##   c   T 6     140 
## ------------------------------------------------------------------------



14.11 Exemplo 2

Um experimento foi realizado com o intuito de avaliar a produtividade de 15 cultivares comerciais de soja no munícipio de Londrina-PR. O experimento foi instalado em Delineamento em blocos casualizados com 3 repetições por tratamento.

Fonte da foto: Agricultura


14.11.1 Conjunto de dados

PRO=c(2444.44,2870.37,2314.81,2629.63,2444.44,2592.59,2962.96,3037.04,3037.04,2592.59,2296.30,2444.44,2370.37,3481.48,2555.56,1981.48,2611.11,1925.93,1870.37,2518.52,2370.37,2462.96,2351.85,2000.00,2703.70,2685.19,2166.67,2129.63,2222.22,1814.81,2537.04,2351.85,2333.33,3370.37,2462.96,3129.63,2666.67,2796.30,2055.56,2333.33,2240.74,2092.59,2703.70,2129.63,2740.74)
Cultivares=rep(c(paste("T",1:15)),e=3)
Bloco=rep(c(paste("B",1:3)),15)
Tratamento = as.factor(Cultivares)
bloco=as.factor(Bloco)
dados = data.frame(Tratamento, TRAT=Tratamento, bloco,resp=PRO)
dados = dados[order(dados$Tratamento), ]
X = 'Cultivares de soja'
(Y = expression(Produtividade (Kg.ha^-1)))
## expression(Produtividade(Kg.ha^-1))
alfa="0,05"



14.12 Estatística descritiva

Média = with(dados, mean(resp))
Variância = with(dados, var(resp))
Desvio = with(dados, sd(resp))
CV = Desvio / Média * 100

desc = cbind(Média, Variância, Desvio, CV)
rownames(desc) = 'Produvidade (Kg/ha)'
kable(round(desc,2), align="l")
Média Variância Desvio CV
Produvidade (Kg/ha) 2485.18 141049.6 375.57 15.11



14.12.1 Por Cultivar

Médias = with(dados, tapply(resp, Tratamento, mean))
Variâncias = with(dados, tapply(resp, Tratamento, var))
Desvios = with(dados, tapply(resp, Tratamento, sd))
CV = Desvios / Médias * 100
Desc = cbind(Médias, Variâncias, Desvios, CV)
kable(round(Desc,2),align="l")
Médias Variâncias Desvios CV
T 1 2543.21 84477.87 290.65 11.43
T 10 2055.55 45611.24 213.57 10.39
T 11 2407.41 12689.35 112.65 4.68
T 12 2987.65 220966.26 470.07 15.73
T 13 2506.18 156492.52 395.59 15.78
T 14 2222.22 14746.18 121.43 5.46
T 15 2524.69 117397.29 342.63 13.57
T 2 2555.55 9602.62 97.99 3.83
T 3 3012.35 1829.28 42.77 1.42
T 4 2444.44 21946.94 148.15 6.06
T 5 2802.47 354364.77 595.29 21.24
T 6 2172.84 144831.90 380.57 17.51
T 7 2253.09 115341.14 339.62 15.07
T 8 2271.60 58412.64 241.69 10.64
T 9 2518.52 92934.47 304.85 12.10

As Médias e as Variâncias estão apresentadas na Tabela . Nota-se uma variação nos valores médios, sendo a menor Média igual a \(2055.55\) e a maior Média de \(3012.35\). Já em relação às Variâncias, o menor valor é de \(1829.28\) e a maior variablidade de \(3.5436477\times 10^{5}\).



14.13 Gráfico de Caixas

par(bty='l', mai=c(1, 1, .2, .2))
par(cex=0.7)
caixas=with(dados, car::Boxplot(resp ~ dados$TRAT, vertical=T,las=1, col='Lightyellow',
                    xlab=X, ylab=Y))
mediab=tapply(dados$resp, dados$ TRAT, mean)
points(mediab, pch='+', cex=1.5, col='red')
Gráfico de caixas

Figure 14.1: Gráfico de caixas 

names(Desvios)[which.min(Desvios)]

Não observa-se outliers. Há maior variabilidade em T 5 e menor em T 3, com 595.285 e 42.77, respectivamente. Há evidências de diferença entre as Médias dos tratamentos.



14.14 Análise de Variância

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \cdots = \mu_{15} \\[.2cm] H_1: & \mu_i \neq \mu_i' \qquad i \neq i'. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

mod = with(dados, aov(resp ~ Tratamento+bloco))
av=anova(mod)
kable(av, align = "l")
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Tratamento 14 3302891.5 235920.82 2.545837 0.0171400
bloco 2 308550.2 154275.11 1.664793 0.2074184
Residuals 28 2594738.7 92669.24

Como p-valor calculado (p=\(0.01714\)) é menor que o nível de significância adotado (\(p=0,05\)), rejeita-se \(H0\). Logo, ao menos dois tratamentos se diferem entre si



14.15 Pressuposições


14.15.1 Normalidade dos erros

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{Os erros seguem distribuição normal}\\[.2cm] H_1: & \mbox{Os erros não seguem distribuição normal}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(norm=shapiro.test(mod$res))
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  mod$res
## W = 0.97989, p-value = 0.6151

Como p-valor calculado (p=\(0.6151\)) é maior que o nível de significância adotado (\(\alpha=0,05\)), não rejeita-se \(H_O\). Logo, os erros seguem distribuição normal.

hnp::hnp(mod, las=1, xlab="Quantis teóricos", pch=16)
Gráfico QQplot \label{Fig:QQ}

Figure 14.2: Gráfico QQplot


14.15.2 Homogeneidade de Variâncias

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{ As Variâncias são homogêneas}\\[.2cm] H_1: & \mbox{ As Variâncias não são homogêneas}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(homog=with(dados, bartlett.test(mod$res ~ Tratamento)))
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  mod$res by Tratamento
## Bartlett's K-squared = 15.293, df = 14, p-value = 0.3584

Como p-valor calculado (p=\(0.3584\)) é maior que o nível de significância adotado (\(p=0,05\)), não rejeita-se \(H_0\). Logo, as Variâncias são homogêneas.


14.15.3 Independência dos erros

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \mbox{Os erros são independentes}\\[.2cm] H_1: \mbox{Os erros não são independentes}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(ind=lmtest::dwtest(mod))
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  mod
## DW = 2.9611, p-value = 0.9272
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Como p-valor calculado (p=\(0.9272\)) é maior que o nível de significância adotado (\(p=0,05\)), não rejeita-se \(H_0\). Logo, os erros são independentes. A Figura apresenta os resíduos brutos. Percebe-se que os resíduos estão distribuídos de forma totalmente aleatória, evidenciando a sua independência.

plot(mod$res, las=1, pch=19, col='red', ylab='Resíduos brutos')
abline(h=0)
Gráfico de resíduos brutos \label{fig:res}

Figure 14.3: Gráfico de resíduos brutos



14.16 Teste de comparações

mod.1 = easyanova::ea1(dados[,c(1,3,4)], design=2, plot=2)
tabela=cbind(mod.1$`Adjusted means`[1],
             mod.1$`Adjusted means`[2],
             mod.1$`Adjusted means`[8])
names(tabela)[1:3]=c("Cultivar","Média","")
kable(tabela, align = 'l', booktabs=T, caption="Teste de comparação de Scott-Knott", format="pandoc", format.args = list(big.mark="."))
Table 14.1: Teste de comparação de Scott-Knott
Cultivar Média
T 3 3.012.347 a
T 12 2.987.653 a
T 5 2.802.470 a
T 2 2.555.553 b
T 1 2.543.207 b
T 15 2.524.690 b
T 9 2.518.520 b
T 13 2.506.177 b
T 4 2.444.443 b
T 11 2.407.407 b
T 8 2.271.603 b
T 7 2.253.087 b
T 14 2.222.220 b
T 6 2.172.840 b
T 10 2.055.553 b 
library(ExpDes.pt)
with(dados,dbc(Tratamento, bloco,resp, mcomp="tukey"))
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##            GL      SQ     QM     Fc   Pr>Fc
## Tratamento 14 3302891 235921 2.5458 0.01714
## Bloco       2  308550 154275 1.6648 0.20742
## Residuo    28 2594739  92669               
## Total      44 6206180                      
## ------------------------------------------------------------------------
## CV = 12.25 %
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de normalidade dos residuos 
## valor-p:  0.6150834 
## De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de homogeneidade de variancia 
## valor-p:  0.1187836 
## De acordo com o teste de oneillmathews a 5% de significancia, as variancias podem ser consideradas homogeneas.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     T 3     3012.347 
## a     T 12    2987.653 
## ab    T 5     2802.47 
## ab    T 2     2555.553 
## ab    T 1     2543.207 
## ab    T 15    2524.69 
## ab    T 9     2518.52 
## ab    T 13    2506.177 
## ab    T 4     2444.443 
## ab    T 11    2407.407 
## ab    T 8     2271.603 
## ab    T 7     2253.087 
## ab    T 14    2222.22 
## ab    T 6     2172.84 
##  b    T 10    2055.553 
## ------------------------------------------------------------------------