16 Esquema Fatorial (2 Fatores)





Nos experimentos mais simples comparamos níveis (tratamentos) de apenas um fator; Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse;

Em geral, os experimentos fatoriais são mais eficientes para este tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou mais níveis.

O fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento;

Os experimentos fatoriais são montados segundo um tipo de delineamento experimental;

Nos experimentos fatoriais, os tratamentos são obtidos pelas combinações dos níveis dos fatores.


16.1 Tipos de efeitos avaliados


  • Efeito Principal: é o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores;

  • Efeito de Interação: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. Dizemos que ocorre interação entre os fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados pelos níveis do outro fator.


16.2 Vantagens


  1. Pode-se estudar dois ou mais fatores num único experimento.

  2. Pode-se, por meio dos efeitos das interações, verificar se um fator é independente ou dependente do(s) outro(s).

16.3 Desvantagens


  1. O número de tratamentos ou combinações de níveis de fatores cresce, rapidamente, com o aumento do número de níveis, em cada fator, ou mesmo com o aumento do número de fatores.

  2. A interpretação dos resultados se torna mais difícil é medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento.


16.4 Modelo estatístico


As observações podem ser descritas pelo modelo estatístico linear:

\(y_{ij} = \mu+\tau_{i}+\beta_{j}+(\tau\beta)_{ij}+\epsilon_{ij}\)

  • i = 1; 2; : : : ; a
  • j = 1; 2; : : : ; b
  • k = 1; 2; : : : ; r

em que:

  • \(y_{ijk}\) é o valor observado no i-ésimo nivel do Fator A e j-ésima nível do Fator B;
  • \(\mu\) é uma constante;
  • \(\tau_{i}\) é o efeito do i-ésimo nível do fator A;
  • \(\beta_{j}\) é o efeito do j-ésimo nível do fator B;
  • \((\tau\beta)_ij\) é o efeito da interação entre \(\tau_{i}\) e \(\beta_{j}\);
  • \((\epsilon)ijk\) é o componente de erro aleatório.


16.5 Hipóteses e quadro da análise de variância


No experimento fatorial com 2 fatores, deseja-se testar a signicância de ambos os fatores.

Há interesse em testar hipóteses sobre a igualdade dos efeitos do fator A, isto é:

  • H0 : \(\beta_{11}\) = \(\beta_{12}\) = : : : \(\beta_{1a}\) = 0
  • H1 : Pelo menos um \(\beta_{1i} \neq 0\)

e a igualdade nos efeitos do fator B, ou seja:

  • H0 : \(\beta_{21}\) = \(\beta_{22}\) = : : : \(\beta_{2b}\) = 0
  • H1 : Pelo menos um \(\beta_{2j} \neq 0\)

e, ainda, se há interação entre os fatores:

  • H0 : \((\beta_1\beta_2)_{ij}\) = 0 para todo i ; j
  • H1 : Pelo menos um \((\beta_1\beta_2)_{ij} \neq 0\)
CV G.L. S.Q. Q.M. Fcalc
Fator A \(a - 1\) \(SQ_{A}\) \(\frac{SQ_{A}}{a-1}\) \(\frac{QM_{A}}{QM_{Res}}\)
Fator B \(b-1\) \(SQ_{B}\) \(\frac{SQ_{B}}{b-1}\) \(\frac{QM_{B}}{QM_{Res}}\)
Interação A x B \((a-1)(b-1)\) \(SQ_{AxB}\) \(\frac{SQ_{AxB}}{(a-1)(b-1)}\) \(\frac{QM_{AxB}}{QM_{Res}}\)
resíduo \(ab(n-1)\) \(SQ_{Res}\) \(\frac{SQ_{Res(b)}}{ab(n-1)}\)
Total \(abn-1\) \(SQ_{Total}\) -


16.6 Croqui em DIC


Criando uma função para fazer um croqui (Número de coluna igual número de repetições)

# Não alterar os comandos da função
library(agricolae)
library(gridExtra)
library(grid)
croqui=function(trat,r){
  sort=design.ab(trat,r,design = "crd",serie=0)
  sort$book$trat=as.vector(matrix(paste(sort$book$A,sort$book$B),nrow =r,byrow=T))
  ncol=r
  sort$book$trat=as.factor(sort$book$trat)
  gs <- lapply(sort$book$trat, function(ii)
    grobTree(rectGrob(gp=gpar(fill=ii, alpha=0.5)),textGrob(ii)))
  grid.arrange(grobs=gs, ncol=ncol)}


Vetor de tratamentos

trat=c(2,2)


Usando a função

croqui(trat,r=3)


Criando uma função para fazer um croqui (Número de colunas igual número de tratamentos)

# Não alterar os comandos da função
library(agricolae)
library(gridExtra)
library(grid)
croqui=function(trat,r){
  sort=design.ab(trat,r,design = "crd",serie=0)
  sort$book$trat=as.vector(t(matrix(paste(sort$book$A,sort$book$B),nrow =r, byrow=T)))
  sort$book$trat=as.factor(sort$book$trat)
  ncol=length(levels(sort$book$trat))
  gs <- lapply(sort$book$trat, function(ii)
    grobTree(rectGrob(gp=gpar(fill=ii, alpha=0.5)),textGrob(ii)))
  grid.arrange(grobs=gs, ncol=ncol)}


Vetor de tratamentos

trat=c(2,2) # número de níveis do fator 1 e fator 2 (no caso são 2 cada)


Usando a função

croqui(trat,r=3)



16.7 Croqui em DBC


Criando uma função para fazer um croqui (Número de coluna igual número de repetições)

# Não alterar os comandos da função
library(agricolae)
library(gridExtra)
library(grid)
croqui=function(trat,r){
  sort=design.ab(trat,r,design = "rcbd",serie=0)
  sort$book$trat=as.vector(matrix(paste(sort$book$A,sort$book$B),nrow =r,byrow=T))
  ncol=r
  sort$book$trat=as.factor(sort$book$trat)
  gs <- lapply(sort$book$trat, function(ii)
    grobTree(rectGrob(gp=gpar(fill=ii, alpha=0.5)),textGrob(ii)))
  grid.arrange(grobs=gs, ncol=ncol)}


Vetor de tratamentos

trat=c(2,2)


Usando a função

croqui(trat,r=3)


Criando uma função para fazer um croqui (Número de colunas igual número de tratamentos)

# Não alterar os comandos da função
library(agricolae)
library(gridExtra)
library(grid)
croqui=function(trat,r){
  sort=design.ab(trat,r,design = "rcbd",serie=0)
  sort$book$trat=as.vector(t(matrix(paste(sort$book$A,sort$book$B),nrow =r, byrow=T)))
  sort$book$trat=as.factor(sort$book$trat)
  ncol=length(levels(sort$book$trat))
  gs <- lapply(sort$book$trat, function(ii)
    grobTree(rectGrob(gp=gpar(fill=ii, alpha=0.5)),textGrob(ii)))
  grid.arrange(grobs=gs, ncol=ncol)}


Vetor de tratamentos

trat=c(2,2) # número de níveis do fator 1 e fator 2 (no caso são 2 cada)


Usando a função

croqui(trat,r=3)




16.8 Exemplo 1 (Fatorial duplo em DIC)


Um experimento foi conduzido em casa de vegetação em vasos na Universidade Estadual de Londrina. O trabalho tem o objetivo de avaliar a aplicação de dicloroisocianurato de sódio (DUP) em soja em 4 épocas de aplicação em soja inoculada ou não com Rhizobium e sua influência sobre o número de nódulos. O experimento foi conduzido em delineamento inteiramente casualizado com cinco repetições.

Fonte da foto: https://blog.aegro.com.br/inoculante-para-soja/


NN=c(339,332,163,230,300,
      163,172,123,083,161,
      171,069,095,046,079,
      335,235,217,174,222,
      284,136,225,098,110,
      082,038,092,053,046,
      196,252,346,468,258,
      032,038,063,048,160)
(Inoculacao=rep(c("IN","NI"),e=20))
##  [1] "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN"
## [16] "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI"
## [31] "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI"
(epoca=rep(c("Plantio","V1+15","V3+15","R1+15"),e=5,2))
##  [1] "Plantio" "Plantio" "Plantio" "Plantio" "Plantio" "V1+15"   "V1+15"  
##  [8] "V1+15"   "V1+15"   "V1+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"  
## [15] "V3+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "Plantio"
## [22] "Plantio" "Plantio" "Plantio" "Plantio" "V1+15"   "V1+15"   "V1+15"  
## [29] "V1+15"   "V1+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"  
## [36] "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"
F1=as.factor(Inoculacao)
F2=as.factor(epoca)
Trat=paste(F1,F2)
dados=data.frame(F1,F2,resp=NN)
X="";Y="Número de nódulos"



16.9 Estatística descritiva

Media = with(dados, mean(resp))
Variancia = with(dados, var(resp))
Desvio = with(dados, sd(resp))
CV = Desvio / Media * 100

desc = cbind(Media, Variancia, Desvio, CV)
desc
Media Variancia Desvio CV
168.35 11413.41 106.83 63.46


16.9.1 Por Inoculação

MediaA = with(dados, tapply(resp, F1, mean))
VarianciaA = with(dados, tapply(resp, F1, var))
DesvioA = with(dados, tapply(resp, F1, sd))
CVA = DesvioA / MediaA * 100
Desc = cbind(MediaA, VarianciaA, DesvioA, CVA)
Desc
MediaA VarianciaA DesvioA CVA
IN 185.45 8229.21 90.71 48.92
NI 151.25 14582.72 120.76 79.84


16.9.2 Por época de aplicação

MediaB = with(dados, tapply(resp, F2, mean))
VarianciaB = with(dados, tapply(resp, F2, var))
DesvioB = with(dados, tapply(resp, F2, sd))
CVB = DesvioB / MediaB * 100
Desc = cbind(MediaB, VarianciaB, DesvioB, CVB)
Desc
MediaB VarianciaB DesvioB CVB
Plantio 221.7 8287.34 91.03 41.06
R1+15 152.4 10686.93 103.38 67.83
V1+15 101.3 2559.12 50.59 49.94
V3+15 198.0 18507.56 136.04 68.71



16.10 Gráficos exploratórios


16.10.1 Gráfico de Caixas

16.10.1.1 Fator 1

par(bty='l', mai=c(1, 1, .2, .2))
par(cex=0.7)
caixas=with(dados, car::Boxplot(resp ~ F1, vertical=T,las=1, col='Lightyellow',
                    xlab=X, ylab=Y))
mediab=with(dados,tapply(resp, F1, mean))
points(mediab, pch='+', cex=1.5, col='red')


16.10.1.2 Fator 2

par(bty='l', mai=c(1, 1, .2, .2))
par(cex=0.7)
caixas=with(dados, car::Boxplot(resp ~ F2, vertical=T,las=1, col='Lightyellow',
                    xlab=X, ylab=Y))
mediab=with(dados,tapply(resp, F2, mean))
points(mediab, pch='+', cex=1.5, col='red')


16.10.1.3 Juntando Fatores

par(bty='l', mai=c(1, 1, .2, .2))
par(cex=0.7)
caixas=with(dados, car::Boxplot(resp ~ F1*F2, vertical=T,las=1, col='Lightyellow',
                    xlab=X, ylab=Y))



16.10.2 Gráfico de interação

with(dados, interaction.plot(F2, F1, resp, las=1, col=1:6, bty='l', 
                             xlab='', ylab='CBM', trace.label="FATOR1"))

# FATOR1 e FATOR2
with(dados, interaction.plot(F1, F2, resp, las=1, col=1:6, bty='l', 
                             xlab='', ylab='CBM', trace.label="FATOR2"))



16.11 Análise de Variância

Hipótese do Fator 1:

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mu_1 = \mu_2\\[.2cm] H_1: & \mu_i \neq \mu_i' \qquad i \neq i'. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

Hipótese do Fator 2:

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 \\[.2cm] H_1: & \mu_i \neq \mu_i' \qquad i \neq i'. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

Hipótese da interação:

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{Todas as combinações entre os níveis do fator 1 e do fator 2 têm o mesmo efeito} \\[.2cm] H_1: & \mbox{Pelo menos duas combinações entre os níveis do fator 1 e do fator 2 têm efeitos diferentes}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

mod = with(dados, aov(resp~F1*F2))
anova(mod)
GL SQ QM Teste F p-valor
F1 1 11696.4 11696.40 2.757934 0.1065420
F2 3 84754.5 28251.50 6.661518 0.0012721
F1:F2 3 212960.2 70986.73 16.738206 0.0000010
Residuals 32 135712.0 4241.00



16.12 Pressuposições


16.12.1 Normalidade dos erros

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{Os erros seguem distribuição normal}\\[.2cm] H_1: & \mbox{Os erros não seguem distribuição normal}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(norm=shapiro.test(mod$res))
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  mod$res
## W = 0.96809, p-value = 0.3125
hnp::hnp(mod, las=1, xlab="Quantis teóricos", pch=16)


16.12.2 Homogeneidade de variâncias

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{ As variâncias são homogêneas}\\[.2cm] H_1: & \mbox{ As variâncias não são homogêneas}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

16.12.2.1 Para Fator 1

with(dados, bartlett.test(mod$residuals~F1))
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  mod$residuals by F1
## Bartlett's K-squared = 1.1346, df = 1, p-value = 0.2868


16.12.2.2 Para Fator 2

with(dados, bartlett.test(mod$residuals~F2))
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  mod$residuals by F2
## Bartlett's K-squared = 8.1367, df = 3, p-value = 0.04327


16.12.2.3 Juntandos os fatores

tratamentos=rep(c(paste("T",1:8)),e=5)
with(dados, bartlett.test(mod$residuals~tratamentos))
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  mod$residuals by tratamentos
## Bartlett's K-squared = 9.8754, df = 7, p-value = 0.1957


16.12.3 Independência dos erros

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \mbox{Os erros são independentes}\\[.2cm] H_1: \mbox{Os erros não são independentes}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(ind=lmtest::dwtest(mod))
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  mod
## DW = 1.9256, p-value = 0.07498
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
plot(mod$res, las=1, pch=19, col='red', ylab='Resíduos brutos')
abline(h=0)


16.13 Teste de comparações

library(ExpDes.pt)
with(dados,fat2.dic(F1,F2,resp, mcomp="tukey"))
## ------------------------------------------------------------------------
## Legenda:
## FATOR 1:  F1 
## FATOR 2:  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##         GL     SQ    QM      Fc    Pr>Fc
## F1       1  11696 11696  2.7579 0.106542
## F2       3  84754 28251  6.6615 0.001272
## F1*F2    3 212960 70987 16.7382 0.000001
## Residuo 32 135712  4241                 
## Total   39 445123                       
## ------------------------------------------------------------------------
## CV = 38.68 %
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de normalidade dos residuos (Shapiro-Wilk)
## valor-p:  0.3125183 
## De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## 
## Interacao significativa: desdobrando a interacao
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## Desdobrando  F1  dentro de cada nivel de  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##               GL       SQ        QM      Fc  Pr.Fc
## F2             3  84754.5  28251.50  6.6615 0.0013
## F1:F2 Plantio  1  26112.1  26112.10  6.1571 0.0185
## F1:F2 R1+15    1  70896.4  70896.40 16.7169 0.0003
## F1:F2 V1+15    1  15288.1  15288.10  3.6048 0.0667
## F1:F2 V3+15    1 112360.0 112360.00 26.4938 0.0000
## Residuo       32 135712.0   4241.00      NA     NA
## Total         39 445123.1  11413.41      NA     NA
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## 
##  F1  dentro do nivel  Plantio  de  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     1   272.8 
##  b    2   170.6 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
##  F1  dentro do nivel  R1+15  de  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     1   236.6 
##  b    2   68.2 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
##  F1  dentro do nivel  V1+15  de  F2 
## 
## De acordo com o teste F, as medias desse fator sao estatisticamente iguais.
## ------------------------------------------------------------------------
##     Niveis     Medias
## 1        1      140.4
## 2        2       62.2
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
##  F1  dentro do nivel  V3+15  de  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     2   304 
##  b    1   92 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## 
## Desdobrando  F2  dentro de cada nivel de  F1 
## ------------------------------------------------------------------------
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##          GL       SQ       QM      Fc  Pr.Fc
## F1        1  11696.4 11696.40  2.7579 0.1065
## F2:F1 IN  3 105043.8 35014.58  8.2562 0.0003
## F2:F1 NI  3 192671.0 64223.65 15.1435 0.0000
## Residuo  32 135712.0  4241.00      NA     NA
## Total    39 445123.1 11413.41      NA     NA
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## 
##  F2  dentro do nivel  IN  de  F1 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     1   272.8 
## ab    2   236.6 
##  bc   3   140.4 
##   c   4   92 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
##  F2  dentro do nivel  NI  de  F1 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     4   304 
##  b    1   170.6 
##  b    2   68.2 
##  b    3   62.2 
## ------------------------------------------------------------------------



16.14 Exemplo 2 (Fatorial duplo em DBC)


Supondo o mesmo exemplo anterior. Todavia, iremos considerar que o experimento foi conduzido em delineamento em blocos casualizados com cinco repetições.


NN=c(339,332,163,230,300,163,172,123,083,161,171,069,095,046,079,335,235,217,174,222,284,136,225,098,110,082,038,092,053,046,
      196,252,346,468,258,032,038,063,048,160)
(Inoculacao=rep(c("IN","NI"),e=20))
##  [1] "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "IN"
## [16] "IN" "IN" "IN" "IN" "IN" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI"
## [31] "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI" "NI"
(epoca=rep(c("Plantio","V1+15","V3+15","R1+15"),e=5,2))
##  [1] "Plantio" "Plantio" "Plantio" "Plantio" "Plantio" "V1+15"   "V1+15"  
##  [8] "V1+15"   "V1+15"   "V1+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"  
## [15] "V3+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "Plantio"
## [22] "Plantio" "Plantio" "Plantio" "Plantio" "V1+15"   "V1+15"   "V1+15"  
## [29] "V1+15"   "V1+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"   "V3+15"  
## [36] "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"   "R1+15"
(bloco=rep(paste("B",1:5),8))
##  [1] "B 1" "B 2" "B 3" "B 4" "B 5" "B 1" "B 2" "B 3" "B 4" "B 5" "B 1" "B 2"
## [13] "B 3" "B 4" "B 5" "B 1" "B 2" "B 3" "B 4" "B 5" "B 1" "B 2" "B 3" "B 4"
## [25] "B 5" "B 1" "B 2" "B 3" "B 4" "B 5" "B 1" "B 2" "B 3" "B 4" "B 5" "B 1"
## [37] "B 2" "B 3" "B 4" "B 5"
F1=as.factor(Inoculacao)
F2=as.factor(epoca)
bloco=as.factor(bloco)
Trat=paste(F1,F2)
dados=data.frame(F1,F2,bloco,resp=NN)
attach(dados)
X="";Y="Número de nódulos"



16.15 Estatística descritiva

Media = with(dados, mean(resp))
Variancia = with(dados, var(resp))
Desvio = with(dados, sd(resp))
CV = Desvio / Media * 100

desc = cbind(Media, Variancia, Desvio, CV)
desc
Media Variancia Desvio CV
168.35 11413.41 106.83 63.46


16.15.1 Por Inoculação

MediaA = with(dados, tapply(resp, F1, mean))
VarianciaA = with(dados, tapply(resp, F1, var))
DesvioA = with(dados, tapply(resp, F1, sd))
CVA = DesvioA / MediaA * 100
Desc = cbind(MediaA, VarianciaA, DesvioA, CVA)
Desc
MediaA VarianciaA DesvioA CVA
IN 185.45 8229.21 90.71 48.92
NI 151.25 14582.72 120.76 79.84


16.15.2 Por época de aplicação

MediaB = with(dados, tapply(resp, F2, mean))
VarianciaB = with(dados, tapply(resp, F2, var))
DesvioB = with(dados, tapply(resp, F2, sd))
CVB = DesvioB / MediaB * 100
Desc = cbind(MediaB, VarianciaB, DesvioB, CVB)
Desc
MediaB VarianciaB DesvioB CVB
Plantio 221.7 8287.34 91.03 41.06
R1+15 152.4 10686.93 103.38 67.83
V1+15 101.3 2559.12 50.59 49.94
V3+15 198.0 18507.56 136.04 68.71



16.16 Gráficos exploratórios


16.16.1 Gráfico de Caixas

16.16.1.1 Fator 1

par(bty='l', mai=c(1, 1, .2, .2))
par(cex=0.7)
caixas=with(dados, car::Boxplot(resp ~ F1, vertical=T,las=1, col='Lightyellow',
                    xlab=X, ylab=Y))
mediab=with(dados,tapply(resp, F1, mean))
points(mediab, pch='+', cex=1.5, col='red')


16.16.1.2 Fator 2

par(bty='l', mai=c(1, 1, .2, .2))
par(cex=0.7)
caixas=with(dados, car::Boxplot(resp ~ F2, vertical=T,las=1, col='Lightyellow',
                    xlab=X, ylab=Y))
mediab=with(dados,tapply(resp, F2, mean))
points(mediab, pch='+', cex=1.5, col='red')


16.16.1.3 Juntando Fatores

par(bty='l', mai=c(1, 1, .2, .2))
par(cex=0.7)
caixas=with(dados, car::Boxplot(resp ~ F1*F2, vertical=T,las=1, col='Lightyellow',
                    xlab=X, ylab=Y))



16.16.2 Gráfico de interação

with(dados, interaction.plot(F2, F1, resp, las=1, col=1:6, bty='l', 
                             xlab='', ylab='CBM', trace.label="FATOR1"))

# FATOR1 e FATOR2
with(dados, interaction.plot(F1, F2, resp, las=1, col=1:6, bty='l', 
                             xlab='', ylab='CBM', trace.label="FATOR2"))



16.17 Análise de Variância

Hipótese do Fator 1:

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mu_1 = \mu_2\\[.2cm] H_1: & \mu_i \neq \mu_i' \qquad i \neq i'. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

Hipótese do Fator 2:

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 \\[.2cm] H_1: & \mu_i \neq \mu_i' \qquad i \neq i'. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

Hipótese da interação:

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{Todas as combinações entre os níveis do fator 1 e do fator 2 têm o mesmo efeito} \\[.2cm] H_1: & \mbox{Pelo menos duas combinações entre os níveis do fator 1 e do fator 2 têm efeitos diferentes}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

mod = with(dados, aov(resp~F1*F2+bloco))
anova(mod)
GL SQ QM Teste F p-valor
F1 1 11696.4 11696.400 2.6390284 0.1154728
F2 3 84754.5 28251.500 6.3743126 0.0019764
bloco 4 11613.6 2903.400 0.6550866 0.6282168
F1:F2 3 212960.2 70986.733 16.0165525 0.0000030
Residuals 28 124098.4 4432.086



16.18 Pressuposições


16.18.1 Normalidade dos erros

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{Os erros seguem distribuição normal}\\[.2cm] H_1: & \mbox{Os erros não seguem distribuição normal}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(norm=shapiro.test(mod$res))
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  mod$res
## W = 0.95489, p-value = 0.1118
hnp::hnp(mod, las=1, xlab="Quantis teóricos", pch=16)


16.18.2 Homogeneidade de variâncias

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{ As variâncias são homogêneas}\\[.2cm] H_1: & \mbox{ As variâncias não são homogêneas}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

16.18.2.1 Para Fator 1

with(dados, bartlett.test(mod$residuals~F1))
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  mod$residuals by F1
## Bartlett's K-squared = 4.6002, df = 1, p-value = 0.03197


16.18.2.2 Para Fator 2

with(dados, bartlett.test(mod$residuals~F2))
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  mod$residuals by F2
## Bartlett's K-squared = 10.875, df = 3, p-value = 0.01242


16.18.2.3 Juntandos os fatores

tratamentos=rep(c(paste("T",1:8)),e=5)
with(dados, bartlett.test(mod$residuals~tratamentos))
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  mod$residuals by tratamentos
## Bartlett's K-squared = 16.111, df = 7, p-value = 0.02412


16.18.3 Independência dos erros

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \mbox{Os erros são independentes}\\[.2cm] H_1: \mbox{Os erros não são independentes}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(ind=lmtest::dwtest(mod))
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  mod
## DW = 1.8654, p-value = 0.06734
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
plot(mod$res, las=1, pch=19, col='red', ylab='Resíduos brutos')
abline(h=0)


16.19 Teste de comparações

library(ExpDes.pt)
with(dados,fat2.dbc(F1,F2,bloco,resp, mcomp="tukey"))
## ------------------------------------------------------------------------
## Legenda:
## FATOR 1:  F1 
## FATOR 2:  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##         GL     SQ    QM      Fc   Pr>Fc
## Bloco    4  11614  2903  0.6551 0.62822
## F1       1  11696 11696  2.6390 0.11547
## F2       3  84755 28252  6.3743 0.00198
## F1*F2    3 212960 70987 16.0166 0.00000
## Residuo 28 124098  4432                
## Total   39 445123                      
## ------------------------------------------------------------------------
## CV = 39.54 %
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de normalidade dos residuos (Shapiro-Wilk)
## valor-p:  0.1117923 
## De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## 
## Interacao significativa: desdobrando a interacao
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## Desdobrando  F1  dentro de cada nivel de  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##               GL       SQ         QM      Fc  Pr.Fc
## Bloco          4  11613.6   2903.400  0.6551 0.6282
## F2             3  84754.5  28251.500  6.3743 0.0020
## F1:F2 Plantio  1  26112.1  26112.100  5.8916 0.0219
## F1:F2 R1+15    1  70896.4  70896.400 15.9962 0.0004
## F1:F2 V1+15    1  15288.1  15288.100  3.4494 0.0738
## F1:F2 V3+15    1 112360.0 112360.000 25.3515 0.0000
## Residuo       28 124098.4   4432.086             NA
## Total         39 445123.1  11413.413             NA
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## 
##  F1  dentro do nivel  Plantio  de  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     1   272.8 
##  b    2   170.6 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
##  F1  dentro do nivel  R1+15  de  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     1   236.6 
##  b    2   68.2 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
##  F1  dentro do nivel  V1+15  de  F2 
## 
## De acordo com o teste F, as medias desse fator sao estatisticamente iguais.
## ------------------------------------------------------------------------
##     Niveis     Medias
## 1        1      140.4
## 2        2       62.2
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
##  F1  dentro do nivel  V3+15  de  F2 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     2   304 
##  b    1   92 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## 
## Desdobrando  F2  dentro de cada nivel de  F1 
## ------------------------------------------------------------------------
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##          GL       SQ        QM      Fc  Pr.Fc
## Bloco     4  11613.6  2903.400  0.6551 0.6282
## F1        1  11696.4 11696.400   2.639 0.1155
## F2:F1 IN  3 105043.8 35014.583  7.9002 0.0006
## F2:F1 NI  3 192671.0 64223.650 14.4906 0.0000
## Residuo  28 124098.4  4432.086             NA
## Total    39 445123.1 11413.413             NA
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
## 
##  F2  dentro do nivel  IN  de  F1 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     1   272.8 
## ab    2   236.6 
##  bc   3   140.4 
##   c   4   92 
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## 
##  F2  dentro do nivel  NI  de  F1 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     4   304 
##  b    1   170.6 
##  b    2   68.2 
##  b    3   62.2 
## ------------------------------------------------------------------------
# ou

library(easyanova)
ea2(dados, design = 2)

## $`Analysis of variance`
##                   df type III SS mean square F value    p>F
## factor_1           1     11696.4   11696.400   2.639 0.1155
## factor_2           3     84754.5   28251.500  6.3743  0.002
## blocks             4     11613.6    2903.400  0.6551 0.6282
## factor_1:factor_2  3    212960.2   70986.733 16.0166 <0.001
## residuals         28    124098.4    4432.086       -      -
## 
## $`Adjusted means (factor 1)`
##   factor_1 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott
## 1       IN        185.45        14.8864     a   a      a a           a
## 2       NI        151.25        14.8864     a   a      a a           a
## 
## $`Multiple comparison test (factor 1)`
##      pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan)   p(t)
## 1 IN - NI     34.2   0.1155 0.1155    0.1155 0.1155
## 
## $`Adjusted means (factor 2)`
##   factor_2 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan  t scott_knott
## 1  Plantio         221.7        21.0525     a   a      a  a           a
## 2    V3+15         198.0        21.0525     a   a     ab ab           a
## 3    R1+15         152.4        21.0525    ab  ab     bc bc           b
## 4    V1+15         101.3        21.0525     b   b      c  c           b
## 
## $`Multiple comparison test (factor 2)`
##              pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan)   p(t)
## 1 Plantio - V3+15     23.7   0.8556 0.4327    0.4327 0.4327
## 2 Plantio - R1+15     69.3   0.1158 0.0683    0.0347 0.0274
## 3 Plantio - V1+15    120.4   0.0020 0.0020    0.0007 0.0004
## 4   V3+15 - R1+15     45.6   0.4329 0.1368    0.1368 0.1368
## 5   V3+15 - V1+15     96.7   0.0151 0.0082    0.0041 0.0030
## 6   R1+15 - V1+15     51.1   0.3344 0.0971    0.0971 0.0971
## 
## $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`
## $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in  Plantio`
##    treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott
## 1 IN.Plantio         272.8        29.7728     a   a      a a           a
## 2 NI.Plantio         170.6        29.7728     b   b      b b           b
## 
## $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in  R1+15`
##   treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott
## 3  IN.R1+15         236.6        29.7728     a   a      a a           a
## 4  NI.R1+15          68.2        29.7728     b   b      b b           b
## 
## $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in  V1+15`
##   treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott
## 5  IN.V1+15         140.4        29.7728     a   a      a a           a
## 6  NI.V1+15          62.2        29.7728     a   a      a a           a
## 
## $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in  V3+15`
##   treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott
## 8  NI.V3+15           304        29.7728     a   a      a a           a
## 7  IN.V3+15            92        29.7728     b   b      b b           b
## 
## 
## $`Multiple comparison test (factor 1 in levels of factor 2)`
## $`Multiple comparison test (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in  Plantio`
##                      pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan)   p(t)
## 1 IN.Plantio - NI.Plantio    102.2   0.0219 0.0219    0.0219 0.0219
## 
## $`Multiple comparison test (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in  R1+15`
##                  pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan)  p(t)
## 1 IN.R1+15 - NI.R1+15    168.4    4e-04  4e-04     4e-04 4e-04
## 
## $`Multiple comparison test (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in  V1+15`
##                  pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan)   p(t)
## 1 IN.V1+15 - NI.V1+15     78.2   0.0738 0.0738    0.0738 0.0738
## 
## $`Multiple comparison test (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in  V3+15`
##                  pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t)
## 1 NI.V3+15 - IN.V3+15      212        0      0         0    0
## 
## 
## $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`
## $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in  IN`
##    treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott
## 1 IN.Plantio         272.8        29.7728     a   a      a a           a
## 3   IN.R1+15         236.6        29.7728    ab   a      a a           a
## 5   IN.V1+15         140.4        29.7728    bc   b      b b           b
## 7   IN.V3+15          92.0        29.7728     c   b      b b           b
## 
## $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in  NI`
##    treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott
## 8   NI.V3+15         304.0        29.7728     a   a      a a           a
## 2 NI.Plantio         170.6        29.7728     b   b      b b           b
## 4   NI.R1+15          68.2        29.7728     b   c      c c           c
## 6   NI.V1+15          62.2        29.7728     b   c      c c           c
## 
## 
## $`Multiple comparison test (factor 2 in levels of factor 1)`
## $`Multiple comparison test (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in  IN`
##                    pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan)   p(t)
## 1 IN.Plantio - IN.R1+15     36.2   0.8253 0.3972    0.3972 0.3972
## 2 IN.Plantio - IN.V1+15    132.4   0.0193 0.0106    0.0053 0.0039
## 3 IN.Plantio - IN.V3+15    180.8   0.0010 0.0010    0.0003 0.0002
## 4   IN.R1+15 - IN.V1+15     96.2   0.1259 0.0301    0.0301 0.0301
## 5   IN.R1+15 - IN.V3+15    144.6   0.0095 0.0051    0.0026 0.0019
## 6   IN.V1+15 - IN.V3+15     48.4   0.6627 0.2601    0.2601 0.2601
## 
## $`Multiple comparison test (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in  NI`
##                    pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan)   p(t)
## 1 NI.V3+15 - NI.Plantio    133.4   0.0182 0.0037    0.0037 0.0037
## 2   NI.V3+15 - NI.R1+15    235.8   0.0000 0.0000    0.0000 0.0000
## 3   NI.V3+15 - NI.V1+15    241.8   0.0000 0.0000    0.0000 0.0000
## 4 NI.Plantio - NI.R1+15    102.4   0.0940 0.0217    0.0217 0.0217
## 5 NI.Plantio - NI.V1+15    108.4   0.0700 0.0402    0.0203 0.0156
## 6   NI.R1+15 - NI.V1+15      6.0   0.9989 0.8877    0.8877 0.8877
## 
## 
## $`Residual analysis`
## $`Residual analysis`$`residual analysis`
##                                     values
## p.value Shapiro-Wilk test           0.1118
## p.value Bartlett test (factor_1)    0.0320
## p.value Bartlett test (factor_2)    0.0124
## p.value Bartlett test (treatments)  0.0241
## coefficient of variation (%)       39.5400
## first value most discrepant        34.0000
## second value most discrepant       31.0000
## third value most discrepant         3.0000
## 
## $`Residual analysis`$residuals
##       1       2       3       4       5       6       7       8       9      10 
##   34.30   68.55 -106.95  -24.45   28.55   -9.30   40.95  -14.55  -39.05   21.95 
##      11      12      13      14      15      16      17      18      19      20 
##   47.10  -13.65    5.85  -27.65  -11.65   66.50    7.75  -16.75  -44.25  -13.25 
##      21      22      23      24      25      26      27      28      29      30 
##   81.50  -25.25   57.25  -54.25  -59.25  -12.10  -14.85   32.65    9.15  -14.85 
##      31      32      33      34      35      36      37      38      39      40 
## -139.90  -42.65   44.85  182.35  -44.65  -68.10  -20.85   -2.35   -1.85   93.15 
## 
## $`Residual analysis`$`standardized residuals`
##           1           2           3           4           5           6 
##  0.60805566  1.21522493 -1.89596363 -0.43343909  0.50612213 -0.16486640 
##           7           8           9          10          11          12 
##  0.72594400 -0.25793615 -0.69226161  0.38912016  0.83496855 -0.24198133 
##          13          14          15          16          17          18 
##  0.10370629 -0.49016731 -0.20652619  1.17888341  0.13738867 -0.29693680 
##          19          20          21          22          23          24 
## -0.78444498 -0.23489030  1.44479697 -0.44762115  1.01490339 -0.96172068 
##          25          26          27          28          29          30 
## -1.05035853 -0.21450360 -0.26325442  0.57880517  0.16220727 -0.26325442 
##          31          32          33          34          35          36 
## -2.48008706 -0.75608087  0.79508152  3.23262242 -0.79153601 -1.20724753 
##          37          38          39          40 
## -0.36961984 -0.04165979 -0.03279600  1.65132316