12 Delineamento Inteiramente Casualizado





O Delineamento inteiramente casualizado é considerado o delineamento mais simples dentro da estatistica. No DIC as unidades experimentais são destinadas a cada tratamento de uma forma inteiramente casual (sorteio). Os experimentos formulados com este delineamento são denominados “experimentos inteiramente ao acaso.”


O DIC apresenta as seguintes características:

  • Considera apenas os princípios de repetição e casulização;
  • Os tratamentos são divididos em parcelas de forma inteiramente casual;
  • Exige que o material experimental seja semelhante e que as condições de estudo sejam completamentes uniformes;
  • Os aspectos que devem ser considerados na semelhança entre as U.E. são aqueles que interferem nas respostas das mesmas aos tratamentos;
  • Ele geralmente é mais utilizado em experimentos nos quais as condições experimentais podem ser bastante controladas (por exemplo em laboratórios);


12.1 Vantagens

  • Delineamento flexível - número de tratamentos e repetições depende apenas da quantidade de parcelas disponíveis

  • O número de repetições pode diferir de um tratamento para o outro (experimento não balanceado)

  • A análise estatística é simples

  • O número de G.L. resíduo é o maior possível


12.2 Desvantagens

  • Exige homogeneidade das condições ambientais

  • Pode estimar uma variância residual muito alta

12.3 Modelo matemático para DIC

\[\begin{eqnarray} y_{ji}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij} \end{eqnarray}\]

\(y_{ji}\): é a observação referente ao tratamento i na repetição j;

\(\mu\): é a média geral (ou constante comum a todas as observações);

\(\tau_i\): é o efeito de tratamento, com \(i = 1, 2, . . . , I\);

\(\varepsilon_{ij}\): é o erro experimental, tal que \(\varepsilon_{ij}\)~N(0; \(\sigma^2\)).

12.4 Hipóteses e Modelo

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mu_1 = \mu_2 =\mu_i\\[.2cm] H_1: & \mu_i \neq \mu_i' \qquad i \neq i'. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

CV G.L. S.Q. Q.M. Fcalc Ftab
Tratamentos \(a - 1\) \(SQ_{Trat}\) \(\frac{SQ_{Trat}}{a-1}\) \(\frac{QMTrat}{QMRes}\) \(F(\alpha;GL_{Trat} ;GL_{Res})\)
resíduo \(a(b-1)\) \(SQ_{Res}\) \(SQRes\) -
Total \(ab-1\) \(SQ_{Total}\) - -

Correção

\(C = \frac{(\sum Y_{ij})^2}{ij}\)

Soma de Quadrados Total

\(SQ_{Total}=\sum Y_{ij}^2-C\)

Soma de Quadrados Tratamento

\(SQ_{Tratamento}=\frac{1}{J}\sum Y_{i}^2-C\)

Soma de Quadrados do resíduo

\(SQ_{Resíduo} = SQ_{Total} - SQ_{Tratamento}\)

Quadrado Médio do Tratamento

\(QM_{Tratamento} = \frac{SQ_{Tratamento}}{GL_{Tratamento}}\)

Quadrado Médio do Resíduo

\(QM_{Resíduo} = \frac{SQ_{Resíduo}}{GL_{Resíduo}}\)

F calculado

\(F_{Calculado}=\frac{QM_{Tratamento}}{QM_{Resíduo}}\)



12.5 Croqui para DIC


Criando uma função para fazer um croqui (Número de colunas igual a número de repetições)


# Não alterar os comandos da função
library(agricolae)
library(gridExtra)
library(grid)
croqui=function(trat,r){
  sort=design.crd(trat,r,serie=0)
  sort$book[,3]=as.factor(matrix(sort$book[,3],r,,T))
  ncol=r
  gs <- lapply(sort$book[,3], function(ii)
    grobTree(rectGrob(gp=gpar(fill=ii, alpha=0.5)),textGrob(ii)))
  grid.arrange(grobs=gs, ncol=ncol)}


Vetor de tratamentos

trat=c("T1","T2","T3","T4")


Usando a função

croqui(trat,r=3)


Criando uma função para fazer um croqui (Número de colunas igual a número de tratamentos)

# Não alterar os comandos da função
library(agricolae)
library(gridExtra)
library(grid)
croqui=function(trat,r){
  sort=design.crd(trat,r,serie=0)
  sort$book[,3]=as.factor(t(matrix(sort$book[,3],r,,T)))
  ncol=length(levels(sort$book[,3]))
  gs <- lapply(sort$book[,3], function(ii)
    grobTree(rectGrob(gp=gpar(fill=ii, alpha=0.5)),textGrob(ii)))
  grid.arrange(grobs=gs, ncol=ncol)}


Vetor de tratamentos

trat=c("T1","T2","T3","T4")


Usando a função

croqui(trat,r=3)



12.6 Exemplo 1


Um experimento foi conduzido em Delineamento Inteiramente Casualizado composto por 5 tratamentos em 4 repetições

X1 X2 X3 X4
T1 (100) T2 (150) T1 (110) T4 (210)
T3 (150) T5 (249) T2 (149) T3 (139)
T4 (220) T1 (120) T4 (206) T5 (260)
T3 (144) T5 (248) T3 (134) T1 (90)
T5(266) T2 (145) T4 (210) T2 (165) 
tratamentos=rep(c(paste("T",1:5)),e=4)
resposta=c(100,120,110,90,150,145,149,165,150,144,134,139,220,206,210,210,266,249,248,260)



12.7 Análise Descritiva

Media=mean(resposta)
Desvio=sd(resposta)
Variancia=var(resposta)
Maximo=max(resposta)
Minimo=min(resposta)
Mediana=median(resposta)
descritiva=cbind(Media,
                 Desvio, 
                 Variancia, 
                 Maximo, 
                 Minimo, 
                 Mediana)
kable(descritiva)
Media Desvio Variancia Maximo Minimo Mediana
173.25 55.55924 3086.829 266 90 150



12.8 Por Tratamento

Media=tapply(resposta,tratamentos, mean)
Desvio=tapply(resposta,tratamentos,sd)
Variancia=tapply(resposta,tratamentos, var)
Maximo=tapply(resposta,tratamentos,max)
Minimo=tapply(resposta,tratamentos, min)
Mediana=tapply(resposta,tratamentos,median)
descritiva=cbind(Media,
                 Desvio, 
                 Variancia, 
                 Maximo, 
                 Minimo, 
                 Mediana)
kable(descritiva)
Media Desvio Variancia Maximo Minimo Mediana
T 1 105.00 12.909944 166.66667 120 90 105.0
T 2 152.25 8.770215 76.91667 165 145 149.5
T 3 141.75 6.849574 46.91667 150 134 141.5
T 4 211.50 5.972158 35.66667 220 206 210.0
T 5 255.75 8.732125 76.25000 266 248 254.5 
kable(round(descritiva,2), align="l")
Media Desvio Variancia Maximo Minimo Mediana
T 1 105.00 12.91 166.67 120 90 105.0
T 2 152.25 8.77 76.92 165 145 149.5
T 3 141.75 6.85 46.92 150 134 141.5
T 4 211.50 5.97 35.67 220 206 210.0
T 5 255.75 8.73 76.25 266 248 254.5



12.9 Gráfico de Caixas (Boxplot)

car::Boxplot(resposta~tratamentos,
             las=1,
             col="lightblue", xlab="",
             ylab=expression("Produtividade"*" "* (Kg*" "*ha^-1)))
points(Media,col="red", pch=8)

12.10 Análise de Variância

Hipóteses:

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 =\mu_4 =\mu_5\\[.2cm] H_1: & \mu_i \neq \mu_i' \qquad i \neq i'. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

\(H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=\mu_5\)
\(H_1: \mu_i\neq\mu'_i \qquad i\neq i'\)

modelo=aov(resposta~tratamentos)
anova=anova(modelo)
kable(anova, align="l")
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
tratamentos 4 57442.50 14360.62500 178.4298 0
Residuals 15 1207.25 80.48333

Como o p-valor calculado (\(p=1.8747417\times 10^{-12}\)) é menor que o nível de significância adotado (\(\alpha=0,05\)), rejeita \(H_0\). Logo, ao menos dois tratamentos se diferem entre si.



12.11 Pressuposições da Análise


12.12 Normalidade dos erros

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{ Os erros têm distribuição normal} \\[.2cm] H_1: & \mbox{ Os erros não têm distribuição normal}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(norm=shapiro.test(modelo$res))
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo$res
## W = 0.95788, p-value = 0.5023

Como p-valor calculado (\(p=0.5023389\)) é maior que o nível de significância adotado (\(\alpha=0,05\)), não se rejeita \(H_0\). Logo, os erros seguem distribuição normal.


12.13 Gráfico de normalidade

HNP=hnp::hnp(modelo, paint.on=T, col="red" , las=1, pch=8)
plot(HNP,lty=c(2,3,2),  col=c(2,1,2,1))



12.14 Homogeneidade de variâncias

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{ As variâncias são homogêneas} \\[.2cm] H_1: & \mbox{ As variâncias não são homogêneas}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

(homog=bartlett.test(modelo$res~tratamentos))
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  modelo$res by tratamentos
## Bartlett's K-squared = 1.9189, df = 4, p-value = 0.7507

Como p-valor calculado (\(p=0.7506686\)) é maior que o nível de significância adotado (\(\alpha=0,05\)), não se rejeita \(H_0\). Logo, as variâncias são homogêneas.



12.15 Independências dos erros

\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} H_0: & \mbox{ Os erros são independentes;} \\[.2cm] H_1: & \mbox{ Os erros não são independentes.} \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]

library(lmtest)
ind=dwtest(modelo)

Como p-valor calculado (\(p=0.1738058\)) é maior que o nível de significância adotado (\(\alpha=0,05\)), não se rejeita \(H_0\). Logo, os erros são independentes. A Figura apresenta o gráfico dos resíduos brutos. Percebe-se que os resíduos estão distribuídos de forma totalmente aleatório, evidenciando a independência dos erros.

plot(modelo$res, col="blue",
     las=1, pch=16,
     ylab="Residuos brutos")
abline(h=0, col="red", lwd=2)



12.16 Teste de Comparação Múltipla

(dados=data.frame(tratamentos,resposta))
mod1=easyanova::ea1(dados, design = 1)
tabela=cbind(mod1$Means[1],
      mod1$Means[2], 
      mod1$Means[4])
names(tabela)[1:3]=c("Tratamento","Média","")
tabela
kable(tabela, align = "l")
Tratamento Média
T 5 255.75 a
T 4 211.50 b
T 2 152.25 c
T 3 141.75 c
T 1 105.00 d 
tukey=c("d","c","c","b","a")
box=car::Boxplot(resposta~tratamentos,
             las=1,ylim=c(50,300),
             col="lightblue", xlab="",
             ylab=expression("Produtividade"*" "* (Kg*" "*ha^-1)))
points(Media,col="red", pch=8)
text(c(1:5),
     Media+Desvio+10,
     paste(Media,tukey))

12.17 Usando o ExpDes.pt

library(ExpDes.pt)
dic(tratamentos, resposta)
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##            GL    SQ      QM     Fc      Pr>Fc
## Tratamento  4 57442 14360.6 178.43 1.8747e-12
## Residuo    15  1207    80.5                  
## Total      19 58650                          
## ------------------------------------------------------------------------
## CV = 5.18 %
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de normalidade dos residuos ( Shapiro-Wilk ) 
## Valor-p:  0.5023389 
## De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de homogeneidade de variancia 
## valor-p:  0.7506686 
## De acordo com o teste de bartlett a 5% de significancia, as variancias podem ser consideradas homogeneas.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     T 5     255.75 
##  b    T 4     211.5 
##   c   T 2     152.25 
##   c   T 3     141.75 
##    d      T 1     105 
## ------------------------------------------------------------------------



12.18 Exemplo 2

Dados reais de um experimento conduzido na Universidade Estadual de Londrina

Um experimento foi conduzido com o objetivo de estudar diferentes produtos para redução da perda de massa em pós-colheita de frutos de romã. O experimento foi conduzido em delineamento inteiramente casualizado com quatro repetições.

Os Tratamentos são:

  • T1: Cera Externo
  • T2: Cera Externo + Interno
  • T3: Óleo de Laranja Externo
  • T4: Óleo de Laranja Interno + Externo
  • T5: Hipoclorito de sódio Externo
  • T6: Hipoclorito de sódio Interno + Externo


Os resultados de perda de massa, em porcentagem, foram:

Tratamentos R1 R2 R3 R4
1 2.10 1.90 1.68 1.69
2 1.62 1.82 1.73 1.54
3 2.62 2.24 2.99 2.62
4 2.52 2.21 2.53 3.22
5 2.67 2.44 2.78 2.66
6 2.17 2.27 2.17 2.04



12.19 Conjunto de dados


resp=c(2.10,1.90,1.68,1.69,1.62,1.82,1.73,1.54,2.62,2.24,2.99,2.62,
       2.52,2.21,2.53,3.22,2.67,2.44,2.78,2.66,2.17,2.27,2.17,2.04)
trat=as.factor(rep(paste("T",1:6, sep=""),e=4))


12.20 Gráfico de caixas

car::Boxplot(resp~trat)



12.21 Histograma

hist(resp)



12.22 Análise de variância


modelo=aov(resp~trat)
anova(modelo) # Conferir GL
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: resp
##           Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## trat       5 3.6921 0.73842  12.312 2.724e-05 ***
## Residuals 18 1.0796 0.05998                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1



12.23 Pressuposições


12.24 Normalidade dos erros

shapiro.test(modelo$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.94483, p-value = 0.2088

Os erros seguem distribuição normal


12.25 Homogeneidade das variâncias

bartlett.test(modelo$residuals~trat)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  modelo$residuals by trat
## Bartlett's K-squared = 8.5683, df = 5, p-value = 0.1276

As variâncias são homogêneas


12.26 Independência dos erros

lmtest::dwtest(modelo)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelo
## DW = 2.1048, p-value = 0.1924
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Os erros são independentes.


12.27 Gráfico de resíduos

a=anova(modelo)
plot(modelo$residuals/sqrt(a$`Mean Sq`[2]), ylab="Resíduos Padronizados")
abline(h=0)



12.28 Teste de comparação múltipla


12.28.1 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o multcomp)

library(multcomp)
mcomp=glht(modelo, mcp(trat="Tukey"))
plot(mcomp)

cld(mcomp)
##   T1   T2   T3   T4   T5   T6 
##  "a"  "a"  "b"  "b"  "b" "ab"


12.28.2 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o TukeyHSD do R)

(tukey=TukeyHSD(modelo))
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = resp ~ trat)
## 
## $trat
##          diff         lwr        upr     p adj
## T2-T1 -0.1650 -0.71534348 0.38534348 0.9268309
## T3-T1  0.7750  0.22465652 1.32534348 0.0033733
## T4-T1  0.7775  0.22715652 1.32784348 0.0032716
## T5-T1  0.7950  0.24465652 1.34534348 0.0026408
## T6-T1  0.3200 -0.23034348 0.87034348 0.4623788
## T3-T2  0.9400  0.38965652 1.49034348 0.0004555
## T4-T2  0.9425  0.39215652 1.49284348 0.0004421
## T5-T2  0.9600  0.40965652 1.51034348 0.0003589
## T6-T2  0.4850 -0.06534348 1.03534348 0.1030235
## T4-T3  0.0025 -0.54784348 0.55284348 1.0000000
## T5-T3  0.0200 -0.53034348 0.57034348 0.9999965
## T6-T3 -0.4550 -1.00534348 0.09534348 0.1409264
## T5-T4  0.0175 -0.53284348 0.56784348 0.9999982
## T6-T4 -0.4575 -1.00784348 0.09284348 0.1373682
## T6-T5 -0.4750 -1.02534348 0.07534348 0.1145358
plot(tukey)


12.28.3 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o HSD.test do Agricolae)

library(agricolae)
tukey=HSD.test(modelo,"trat")
plot(tukey)


12.28.4 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o ea1() do pacote easyanova)

library(easyanova)
tukey=ea1(data.frame(trat,resp))
cbind(tukey$Means[1],tukey$Means[2],tukey$Means[4])
##   treatment   mean tukey
## 1        T5 2.6375     a
## 2        T4 2.6200     a
## 3        T3 2.6175     a
## 4        T6 2.1625    ab
## 5        T1 1.8425     b
## 6        T2 1.6775     b


12.28.5 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o dic do pacote ExpDes.pt)

library(ExpDes.pt)
dic(trat,resp)
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##            GL     SQ      QM     Fc      Pr>Fc
## Tratamento  5 3.6921 0.73842 12.312 2.7235e-05
## Residuo    18 1.0796 0.05998                  
## Total      23 4.7717                          
## ------------------------------------------------------------------------
## CV = 10.84 %
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de normalidade dos residuos ( Shapiro-Wilk ) 
## Valor-p:  0.2087967 
## De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de homogeneidade de variancia 
## valor-p:  0.1275737 
## De acordo com o teste de bartlett a 5% de significancia, as variancias podem ser consideradas homogeneas.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## Teste de Tukey
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos Tratamentos Medias
## a     T5      2.6375 
## a     T4      2.62 
## a     T3      2.6175 
## ab    T6      2.1625 
##  b    T1      1.8425 
##  b    T2      1.6775 
## ------------------------------------------------------------------------


12.28.6 Teste de Comparação Múltipla de Tukey (Utilizando o LTukey do pacote laercio)

library(laercio)
LTukey(modelo)
## 
##  TUKEY TEST TO COMPARE MEANS 
##  
##  Confidence level:  0.95 
##  Dependent variable:  resp
##  Variation Coefficient:  10.83832 % 
##  
## Independent variable:  trat 
##   Factors Means    
##   T5      2.6375 a 
##   T4      2.62   a 
##   T3      2.6175 a 
##   T6      2.1625 ab
##   T1      1.8425  b
##   T2      1.6775  b
## 
##



12.28.7 Teste de comparação de Duncan (Utilizando o LDuncan do pacote laercio)

library(laercio)
LDuncan(modelo,which = "trat")
## 
##  DUNCAN TEST TO COMPARE MEANS 
##  
##  Confidence Level:  0.95 
##  Dependent Variable:  resp
##  Variation Coefficient:  10.83832 % 
##  
## 
##  Independent Variable:  trat 
##   Factors Means     
##   T5      2.6375 a  
##   T4      2.62   a  
##   T3      2.6175 a  
##   T6      2.1625  b 
##   T1      1.8425  bc
##   T2      1.6775   c


12.28.8 Teste de comparação de Duncan (Utilizando o dic do pacote ExpDes.pt)

library(ExpDes.pt)
dic(trat,resp,mcomp = "duncan")
## ------------------------------------------------------------------------
## Quadro da analise de variancia
## ------------------------------------------------------------------------
##            GL     SQ      QM     Fc      Pr>Fc
## Tratamento  5 3.6921 0.73842 12.312 2.7235e-05
## Residuo    18 1.0796 0.05998                  
## Total      23 4.7717                          
## ------------------------------------------------------------------------
## CV = 10.84 %
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de normalidade dos residuos ( Shapiro-Wilk ) 
## Valor-p:  0.2087967 
## De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de homogeneidade de variancia 
## valor-p:  0.1275737 
## De acordo com o teste de bartlett a 5% de significancia, as variancias podem ser consideradas homogeneas.
## ------------------------------------------------------------------------
## 
## Teste de Duncan 
## ------------------------------------------------------------------------
## Grupos  Tratamentos  Medias
## a     T5          2.6375 
## a     T4          2.62 
## a     T3          2.6175 
##  b    T6          2.1625 
##  bc   T1          1.8425 
##   c   T2          1.6775 
## ------------------------------------------------------------------------


12.28.9 Teste de Agrupamento de Duncan (Utilizando o ea1() do pacote easyanova)

library(easyanova)
tukey=ea1(data.frame(trat,resp))
cbind(tukey$Means[1],tukey$Means[2],tukey$Means[6])
##   treatment   mean duncan
## 1        T5 2.6375      a
## 2        T4 2.6200      a
## 3        T3 2.6175      a
## 4        T6 2.1625      b
## 5        T1 1.8425     bc
## 6        T2 1.6775      c


12.28.10 Teste de Agrupamento de Scott-Knott (Utilizando o SK do pacote ScottKnott)

library(ScottKnott)
sk <- SK(x=resp, y=resp, model="y~trat", which="trat", sig.level=0.05)
summary(sk)
##  Levels  Means SK(5%)
##      T5 2.6375      a
##      T4 2.6200      a
##      T3 2.6175      a
##      T6 2.1625      b
##      T1 1.8425      c
##      T2 1.6775      c
plot(sk)
box()


12.28.11 Teste de Agrupamento de Scott-Knott (Utilizando o ea1() do pacote easyanova)

library(easyanova)
tukey=ea1(data.frame(trat,resp))
cbind(tukey$Means[1],tukey$Means[2],tukey$Means[8])
##   treatment   mean scott_knott
## 1        T5 2.6375           a
## 2        T4 2.6200           a
## 3        T3 2.6175           a
## 4        T6 2.1625           b
## 5        T1 1.8425           c
## 6        T2 1.6775           c


12.28.12 Teste de Agrupamento de Scott-Knott (Utilizando o LScottKnott do pacote laercio)

library(laercio)
LScottKnott(modelo,'trat')

Obs. O Comando do pacote laercio (Versão 1.0-1) não funciona no Rmarkdown e gera um erro (Problema no scan(), possivelmente o comando do pacote utiliza o scan() para efetuar sua análise e o mesmo não funciona no Rmarkdown a menos que o texto esteja entre aspas).

O Erro gerado é:

Error in scan(file = file, what = what, sep = sep, quote = quote, dec = dec,:line 4 did not have 2 elements